数学物理中的反问题，教材是：
An introduction to the mathematical theory of inverse problems by Andreas Kirsch (auth.) (z-lib.org)——德国人
Lecture-1
2020年2月17日12:56:32
数学物理方程，指的就是偏微分方程
课程的名字，有问题。是外行人写的。
想说的是，偏微分方程的反问题。——属于比较难的一类。
这门课的名称应该叫：反问题的数学理论与算法：
归根到底：计算数学，如何用计算机数值求解。
积分方程、微分方程
基本思路，把反问题，转换成一个稳定的问题，把问题离散。
老师只懂数学，所以从数学的角度理解这个问题。
课程介绍
教材的介绍
课程大纲，在函数空间里玩儿。
希尔伯特空间，有内积会很方便。
最好学过泛函分析。没学过泛函分析，可能有点难
数值计算，可以弥补。
一般第三章介绍不完。
关键词：积分方程、紧算子、奇异值分解、第一类线性方程、微分方程、特征值（实际能够测到的）、有限元、希尔伯特空间、几何分析、数值计算（这是这门课的非常基础的内容）
离散天生就有正则化的性质。
第四章开始，反问题的三个special case。
第五章，一种特殊的成像
第六章，反散射，雷达技术
核心是第二章
开这门课的目的是：
张XXX希望在这方面做一些工作。希望北大也开展这方面的问题的研究。
考核的方式：
- 之前——>闭卷考试的方式、变成了考泛函分析。
- 变成了：前边，老师讲线性反问题的理论。后边同学们每个人讲一些内容。结合自己的研究工作，从这门课得到哪些有帮助的东西。把问题讲清楚。根据你讲的情况，给你一个成绩。只要你愿意，你只要能停下来，讲讲你自己做的东西。就能deserve一个比较好的成绩。自己的学生，正则化理论，你怎么用的？
如果不符合以上的内容，怎么办？问题不大，第一种，你可以根据老师讲的东西，觉得老师讲的不清楚，你再仔细讲一讲。
第二种，之前你思考的问题和反问题不相关，但是现在你开始从反问题的角度思考这种问题，和大家分享讲一讲。第三种，之前你在哪了看到了一篇关于反问题的paper，把paper里的内容讲一讲。
口试是非常厉害的考察方式。
老师非常主观地给成绩。
老师觉得思想很重要。
老师好，我的麦克风出现了点问题，所以只能通过文字交流。选这门课，主要想通过这门课拓展一下自己的思维方式。因为在我的研究领域中，很多问题都是反问题，没有正解。我的研究方向是神经生物方向，探讨的是引起疼痛背后的神经学机制。
其实关心这门课，是因为我的导师说，我们实验室关心的问题都是反问题，但是我都不知道反问题是什么，所以我想来向专家请教请教，到底什么才是反问题。遇到反问题，用正则化就能完全解决吗？
积分方程的求解问题。
紧算子有奇异值分解，所有都能看得非常清楚。
为什么要研究反问题呢？
三元组。
什么样的输入，会造成这样的输出？
- 正整数乘法与因子分解问题【正反问题】，为什么呢，为什么正整数乘法叫正问题，因子分解叫反问题？因为乘法容易算，反问题不容易算，甚至反问题的解不是唯一的。
- 一元多项式求值与插值问题；
- 函数的积分与微分问题；
- 函数的积分与微分问题；
老师：一定要把积分问题当成正问题，把微分问题当成反问题。因为积分问题越积分，越稳定。如果你的问题有误差，越微分，这个误差就越被放大。
老师：一般有这样的规律：一个方向的变换越稳定，它的反问题就越不问题。反卷积非常不稳定。
图像的去噪、去模糊、超分辨也算是个反问题 - Fourier变化与反变换；
定义：
- 正问题：已知输入和系统，求输出
- 重构问题：已知系统和输出，求输入
- 系统辨识问题：已知输入和输出，求系统参数
2和3都是反问题
X是一个集合，这个集合有一定的数学结构，怎么理解呢？
:= 叫做，y定义成。
K是一个算子
我的理解：机器学习的训练过程就是一个反问题求解的过程。
弯弯，叫做tiuta
第一类方程：
1.xxx2.xxxx3.卷积
如果算子可逆，那么谁正，谁逆就无所谓了。
K^{-1}的性质不好了，因为他是无界的，为什么？
Lecture-2-Part1
本次课的主题是：反问题的举例
地质探测问题
问题描述，在地面上测量一些物理量，来推测地下看不见的一些物体的参数。
正问题：已知密度p(x)求地表重力场f_v(x)
反问题：已知地表重力场f_v(x)求密度p(x)，这等价于解第一类线性Fredholm积分方程（卷积方程）
航测地形问题
飞机在地面上空水平飞行，用仪器测量下面一个密度为常数p的山丘产生的重力场f，进而确定山丘的形状y=phi(x)
山丘形状phi(x)满足第一类非线性Fredholm积分方程
正问题：已知山的形状phi(x)，要求重力场f(x);
反问题：已知重力场f(x)，要求山的形状phi(x),这里要解的是第一类非线性Fredholm积分方程
X射线层析成像问题（XCT）
设x-y平面上一个物体对X射线的吸收系数f(x,y)，在这个平面内，X射线沿直线L投射这个物体。将直线L用参数(s,delt)表示L_{s,delt}
Radon变换，拉登变换
正问题：已知物体的吸收系数f(x,y)，计算所有穿过物体的直线上的线积分(Rf)(s,delt}).
反问题：已知一些穿过物体的直线上的线积分(Rf)(s,delt})，要确定吸收系数f(x,y)
逆热传导问题
正问题：根据初始温度分布f(x)，求解t>0的温度分布u(x,t)。
逆热传导问题：已知某个T>0时刻的温度分布g(x) = u(x,T)，求解初始温度分布f(x)，即求解第一类Fredholm积分方程。
已知解，求初值问题
这里的k是一个非常光滑的核函数，f是一个不太光滑的函数，两者相乘之后再积分得到也是一个非常光滑的函数。有一个规律，基本上积分算子越光滑，解积分算子的解就越难
正的过程指数衰减，逆的过程指数增长
极端环境温度监测问题
记探测棒上x处在时刻t的温度测量值为u(x,t)，现在的问题是要通过u(x,t)实时地检测内部的问题f(t)=u(0,t)
已知解，求边值问题
即，内外温度满足一个第一类卷积型Volterra积分方程。
图像去模糊问题
照相机或其他图像采集设备可以把一个物体转换为图像，从数学上看，二维物体是一个二元函数f：R^2->R，采集的图像是另一个函数g:R^2 ->R .
图像采集过程可以抽象为g=Kf，K是一个表示采集过程的算子。完美的采集过程应该对应K=I（恒同算子）.
积分核函数k(x)称为采集过程的点扩散函数（PSF），它是成像系统对点光源的响应，它应该是delt函数的某种近似。
点扩散函数应该满足积分等于1。
图像图模糊问题：已知点扩散函数和采集的图像g(x)求物体f(x)，即求解第一类fredholm积分方程。
图像去模糊问题与逆热传导问题有密切联系。
带限信号外推问题
反散射问题
X射线相位衬度层析成像
扩散光学层析成像
光声层析成像
Lecture-3
2020年3月2日 不适定问题
well-posed 是限定的
Inverse crime
解正问题的时候，不能用和解反问题一样的网格，不然会出现inverse crime问题.
活了这么久，什么美都没体会到过。数学有美，音乐有美，诗歌有美，小说有美，编程有美，演讲有美，科学有美。这些美不像身材、外貌，连傻子都能轻而易举地体会到。要想体会这些美，得需要付出超越蝼蚁千百倍的努力，得坐得了冷板凳，耐得住寂寞，静下去心。
Lecture-4
2020年3月9日
积分算子。
紧算子，巴拿赫空间，泛函分析（细节很多，需要自己学），希尔伯特空间，数学分析中的狭积分，连续，一致连续（证明时，常用反证法）。
紧算子的性质。巴拿赫空间中定义伴随算子。
积分算子一般都是紧算子。
无穷空间上的，紧算子求解问题。
数值解，天生有误差。不仅计算有误差，数据本身也有误差。
通过加先验知识，来约束解，来恢复稳定性。
数学专业的同学，需要修什么课【清华大学】？
大二：数学分析，高等代数，解析几何，常微分方程，概率论，复变函数，运筹学，数值计算；第三：微分几何，实变函数，数学物理方程，组合数学，证券投资分析，泛函分析，数理逻辑，点集拓扑学，近世代数*，数学分析绪论。还有可以选的：图论及其应用，离散数学，数学软件应用，数学建模，高等代数绪论，常微分方程绪论，数理统计，应用多元分析，生物数学。
以下是清华大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科培养方案中的要求：本专业所有方向的基础核心课程10门，41学分：数学分析(1)(5学分)、数学分析(2)(5学分)、数学分析(3)(4学分)、高等代数与几何(1)(4学分)、高等代数与几何(2)(4学分)、微分方程(1)(3学分)、抽象代数(4学分)、复分析(4学分)、测度与积分(4学分)、概率论(1)(4学分)。基础数学方向的其他本科核心课程4门，16学分：泛函分析(1)(4学分)、拓扑学(4学分)、偏微分方程(4学分)、微分几何(4学分)。
应用数学方向的其他本科核心课程4门，16学分：泛函分析(1)(4学分)、偏微分方程(4学分)、数值分析(4学分)、应用分析(4学分)。
概率统计方向的其他本科核心课程4门，15学分：统计推断(4学分)、线性回归(3学分)、应用随机过程(4学分)、数值分析(4学分)。
计算数学的其他本科核心课程4门，16学分：泛函分析(1)(4学分)、偏微分方程(4学分)、数值分析(4学分)、偏微分方程数值解(4学分)。
运筹学与控制论方向的其他本科核心课程4门，16学分：泛函分析(1)(4学分)、数值分析(4学分)、数学规划(4学分)、离散数学(4学分)。
数学分析，中国科学技术大学，史济怀老师的课，讲的非常好。知乎上说的。
为什么学习数学分析，这个问题的答案，数的绪论部分应该有讲，我为什么想自学这门课呢？一是想建立基本的数学描述语言，比如常见的数学描述用语等；二是很多数学概念都不懂啊，特别是上反问题这门课，什么都不懂，各种数学概念“紧算子，巴拿赫空间，泛函分析（细节很多，需要自己学），希尔伯特空间”啥的，一个也不理解，很苦恼。完全不在一个话语体系里。反过来说，我到底理解什么样的话语体系呢？答案是什么都不理解：数学语言描述体系中，毫无建树。深度学习体系中，毫无建树。神经生物学领域，毫无建树。苦恼啊。计算机编程语言中，毫无建树（分布式，线程池，SpringBoot框架等）。阿西吧，好难。
Lecture-5
3月12日
Lecture-6
2020年3月16日
这节课还是听不懂，去wiki上找找名词的定义吧
Lecture-7
2020年3月23日
没听，sad
Lecture-8
2020年3月26日
测量数据中有误差、所以不能无限地去fitting测量数据——over fitting现象